已知：在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD.1 如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF的关系是?2 如图2,若AB=BC,1的结论是否发生变化?给出证明.3 如图3,若AB=kBC,1的结论是否发生变化?

Question

已知：在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD.
1 如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF的关系是?
2 如图2,若AB=BC,1的结论是否发生变化?给出证明.
3 如图3,若AB=kBC,1的结论是否发生变化?证明.

Answer 1

（1）AE=EF；
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC=AC,∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,
∴EH=EC．
∵AD‖BC,∴∠FCE=180°-∠D=120°,
又∠AHE=180°-∠BAC=120°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF；
（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC
∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF；
（3）猜想：（1）中的结论发生变化．
证明：过点E作EH‖AB交AC于点H．
由（2）可得∠EAC=∠EFC,
∠AHE=∠DCB=∠ECF,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE：EF=EH：EC,
∵EH‖AB,
∴△ABC∽△HEC,
∴EH：EC=AB：BC=k,
∴AE：EF=k,
∴AE=kEF．