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已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6，且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an．
题目详情
nnnn2n1315nn
▼优质解答
答案和解析
∵10Snn=ann22+5ann+6，①
∴10a11=a1122+5a11+6，
解之得a11=2或a11=3．
又10Sn-1n-1=an-1n-122+5an-1n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10ann=（ann22-an-1n-122）+5（ann-an-1n-1），
即（ann+an-1n-1）（ann-an-1n-1-5）=0
∵ann+an-1n-1＞0，∴ann-an-1n-1=5 （n≥2）．
当a11=3时，a33=13，a1515=73． a11，a33，a1515不成
等比数列∴a11≠3；
当a11=2时，a33=12，a1515=72，有 a3322=a11a1515，
∴a11=2，∴ann=5n-3．
∴10a11=a1122+5a11+6，
解之得a11=2或a11=3．
又10Sn-1n-1=an-1n-122+5an-1n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10ann=（ann22-an-1n-122）+5（ann-an-1n-1），
即（ann+an-1n-1）（ann-an-1n-1-5）=0
∵ann+an-1n-1＞0，∴ann-an-1n-1=5 （n≥2）．
当a11=3时，a33=13，a1515=73． a11，a33，a1515不成
等比数列∴a11≠3；
当a11=2时，a33=12，a1515=72，有 a3322=a11a1515，
∴a11=2，∴ann=5n-3．
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