已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，且与平行x轴的直线相切于点（1，−12）．（I）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，且与平行x轴的直线相切于点（1，−(1)/(2)）．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b
∵与平行x轴的直线相切于点（1，−(1)/(2)）．
∴f（1）=1+a+b=−(1)/(2)，f′（1）=3+2a+b=0
∴a=-(3)/(2)，b=0
∴f（x）=x³−(3)/(2)x²
（Ⅱ）f（x）=x³−(3)/(2)x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调增；在（0，1）上单调减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x³−(3)/(2)x²=0，可得x=0或x=(3)/(2)
∴0＜m＜(3)/(2)时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥(3)/(2)时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m³−(3)/(2)m²．