设函数a^x-a^(-x)(a>0,a≠1)是奇函数,若f(1)=8/3,且函数g(x)=a^2x+a^(-2x)-2m.f(x)在[1,+∞）上的最小值为-2,求m的值

Question

设函数a^x-a^(-x)(a>0,a≠1)是奇函数,若f(1)=8/3,且函数g(x)=a^2x+a^(-2x)-2m.f(x)在[1,+∞）上的最小值为-2,求m的值

Answer 1

f（1）=a-1/a=8/3,则a=3或a=-1/3,由条件a＞0且a≠1知a=3
g（x）=a^2x+a^-2X-2mf（x）=3^2x+3^-2X-2m（3^x-3^-X）
令y=3^x,y在[3,+无穷）,则g（x）=y^2 +y^-2-2m（y+y^-1）=（y^2 -2+y^-2）my-2m（y-y^-1）+2=（y-y^-1）^2-2m（y-y^-1）+2
令z=y-y^-1,z在[8/3,+无穷）,则g（x）=z^2-2mz+2=z^2-2mz+m^2-m^2+2=（z-m）^2-m^2+2
若m〉=8/3则g（x）最小值为-m^2+2=-2,求得m=2不符合条件
若m<8/3,则g（x）最小值为（8/3-m）^2-m^2+2=(8/3)^2-2m*8/3+2=-2,求得m=25/12符合条件
综上,m=25/12