如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC、AC于D、E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为F1求证：DF是圆O的切线2若AE=DE,DF=2,求弧AD的长

Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC、AC于D、E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为F
1 求证：DF是圆O的切线 2 若AE =DE,DF=2,求弧AD的长

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵AB=AC,∴∠C=∠B． （1分）
∵OD=OB,∴∠B=∠1．
∴∠C=∠1． （2分）
∴OD∥AC,∴∠2=∠FDO． （3分）
∵DF⊥AC,∴∠2=90°,∴∠FDO=90°,
即FD⊥OD．
∴FD是圆O的切线． （4分）
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°． （5分）
∵AC=AB,∴∠3=∠4． （6分）
∴ ED^= DB^,∵ AE^= DE^,∴ DE^= DB^= AE^． （7分）
∴∠B=2∠4,∴∠B=60°,∠5=120°,
∴△ABC是等边三角形,∠C=60°． （8分）
在Rt△CFD中,sinC= DFCD,CD= 2sin60°= 232= 433,
∴DB= 433,AB=BC= 833∴AO= 433． （9分）
∴ lAD^= nπR180= 839π． （10分）