问道微分方程的应用题!已知在一定条件下可认为,伞兵降落过程中所受阻力与当时下降的速率成正比.一个伞兵于t=0时从飞机上跳下,求降落速率V和时间t之间的函数关系.大学的数学题,不会做.

Question

问道微分方程的应用题!
已知在一定条件下可认为,伞兵降落过程中所受阻力与当时下降的速率成正比.一个伞兵于t=0时从飞机上跳下,求降落速率V和时间t之间的函数关系.
大学的数学题,不会做.帮帮忙!谢谢
请列出微分方程~~~~~~

Answer 1

伞兵降落过程中所受阻力p=kv
设伞兵的重量为mg,伞兵总受力f=kv-mg (1)
牛顿第二定律：f=ma (2)
dv/dt=a (3)
联合123得dv/dt=(kv-mg)/m
解微分方程 v=exp(kt/m)[(-mg/k)exp(-kt/m)+c]
t=0时,v=0,所以c=mg/k 所以v=-mg/k+(mg/k)exp(kt/m)
又因为p=mg时,伞兵得到自由下降高度,不再有加速度,v=mg/k,v达到最大是t=(mln2)/k
所以v=-mg/k+(mg/k)exp(kt/m) t的区间为[0,(mln2)/k]