已知fx=(k+4/k)lnx+(4-x^2)/x.k>01.讨论fx单调性.2.若k属于[，+无穷），曲线y=fx上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2)使得曲线在M、N两点处的切线互相平行，求x1+x2的范围.

Question

已知fx=(k+4/k)lnx+(4-x^2)/x.k>0 1.讨论fx单调性. 2.若k属于[
，+无穷），曲线y=fx上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2)使得曲线在M、N两点处的切线互相平行，求x1+x2的范围.

Answer 1

f(x)=(k+4/k)lnx+(4-x^2)/x.k>0,x>0,
f'(x)=(k+4/k)/x-4/x^2-1
=[-x^2+(k+4/k)x-4]/x^2
=-(x-k)(x-4/k)/x^2,
(1)k=2时f'(x)<=0,f(x)是减函数；
k>2时4/k0,f(x)是增函数，其他，f(x)是减函数；
00,f(x)是增函数，其他，f(x)是减函数.
(2)k∈[2,+∞),曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2)使得曲线在M、N两点处的切线互相平行,
<==>f'(x1)=f'(x2),
<==>[-x1^2+(k+4/k)x1-4]/x1^2=[-x2^2+(k+4/k)x2-4]/x2^2,
<==>(k+4/k)x1x2^2-4x2^2=(k+4/k)x1^2x2-4x1^2,
<==>(x2-x1)[(k+4/k)x1x2-4(x2+x1)]=0,x1≠x2,
∴(k+4/k)x1x2-4(x2+x1)=0，
x1,x2>0,x1+x2>0,x1x2∴（k+4/k)(x1+x2)/4-4>0,
∴x1+x2>16/(k+4/k),
k=2时k+4/k取最小值4,16/（k+4/k)取最大值4，
∴x1+x2>4,为所求.