设直线l，m分别是函数f（x）=-lnx，0<x<1lnx，x>1图象上在点M、N处的切线，已知l与m互相垂直，且分别与y轴相交于点A，B，点P是函数y=f（x），（x>1）图象上任意一点，则△PAB的面积的

Question

设直线l，m分别是函数f（x）=

-lnx，0<x<1

lnx，x>1

图象上在点M、N处的切线，已知l与m互相垂直，且分别与y轴相交于点A，B，点P是函数y=f（x），（x>1）图象上任意一点，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A. （0，1）

B. （0，2）

C. （2，+∞）

D. （1，+∞）

Answer 1

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（01<12），P（x，lnx），（x>1），
当0(1)/(x)，当x>1时，f′（x）=(1)/(x)，
∴l₁的斜率k₁=-(1)/(x1)，l₂的斜率k₂=(1)/(x2)，
∵l₁与l₂垂直，且x₂>x₁>0，
∴k₁•k₂=-1，即x₁x₂=1．
直线l₁：y=-(1)/(x1)（x-x₁）-lnx₁，l₂：y=(1)/(x2)（x-x₂）-lnx₂，
取x=0分别得到A（0，1-lnx₁），B（0，-1+lnx₂），
|AB|=|1-lnx₁-（-1+lnx₂）|=|2-（lnx₁+lnx₂）|=|2-lnx₁x₂|=2，
点P是函数y=f（x），（x>1）图象上任意一点，
∴P到直线AB的距离为x（x>1），
∴△PAB的面积S=(1)/(2)|AB|•x=x>1，
△PAB的面积的取值范围是：（0，+∞），
故答案选：D．