如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．（1）求证：CF=EB．（2）若AB=12，AF=8，求CF的长．

Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．

（1）求证：CF=EB．
（2）若AB=12，AF=8，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在△CDF与△EDB中，
∵

DF=DB

DC=DE

，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．

（2） 设CF=x，则AE=12-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在△ACD与△AED中，
∵

AD=AD

CD=DE

，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=12-x，
解得x=2，即CF=2．