如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2．（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；（2）若⊙O1的半径为2，求图中阴影部分的面积；（3）过直径AC的端点C作⊙

Question

如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接A、O₁、B、O₂．
（1）求证：四边形AO₁BO₂是菱形；
（2）若⊙O₁的半径为2，求图中阴影部分的面积；
（3）过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，探究△AO₂D与△ACE之间有什么关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵⊙O₁和⊙O₂是等圆
∴AO₁=BO₁=O₂A=O₂B，
∴四边形AO₁BO₂是菱形．
（2）连接O₁O₂，交AB于点H，如图所示，
∵四边形AO₁BO₂是菱形，
∴AB⊥O₁O₂，AH=BH，O₁H=O₂H=1．
∵O₁A=O₁B=2，
∴AH=BH=√(3)．
∴AB=2√(3)．
∴S_菱形AO1BO2=(1)/(2)O₁O₂•AB=2√(3)．
∵AO₁=BO₁=O₂A=O₂B=O₁O₂，
∴△AO₁O₂和△BO₁O₂都是等边三角形．
∴∠AO₂O₁=∠BO₂O₁=60°．
∴∠AO₂B=120°．
同理：∠AO₁B=120°．
∴S_阴影=2（(120π×22)/(360)-2√(3)）=(8π)/(3)-4√(3)．
∴图中阴影部分的面积为(8π)/(3)-4√(3)．
（3）△AO₂D∽△ACE，相似比为1：2．
证明：∵AC是⊙O₁的直径，
∴∠AO₂C=90°．
∵CE与⊙O₁相切于点C，
∴AC⊥CE，即∠ACE=90°．
∴∠AO₂D=∠ACE=90°．
∵四边形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₂