函数f(x)＝x2+5x6，0≤x＜310−2x，3≤x≤5，∃m，n∈[0，5]（m＜n），使f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

Question

函数f(x)＝

(x2+5x)/(6)，0≤x＜3

10−2x，3≤x≤5

，∃m，n∈[0，5]（m＜n），使f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

先画出函数的图象，如图所示，由题意可得m≠0
①当0≤m＜n＜3时，f（x）=(x2+5x)/(6)在区间[m，n]单调递增，则

f(m)＝m

f(n)＝n

⇒

m2+5m＝6m

n2+5n＝6n

⇒

m＝0

n＝1

②当3≤m＜n≤5，f（x）=10-2x在[m，n]单调递减，则

f(m)＝n

f(n)＝m

⇒

10−2m＝n

10−2n＝m

⇒m=n（舍）
③当0≤m＜3＜n＜5时，可知函数的最大值为f（3）=4=n，从而可得函数的定义域及值域为[m，4]，而f（4）=2
（i）当m=2时，定义域[2，4]，f（2）=(7)/(3)＞f（4）=2，故值域为[2，4]符合题意
（ii）当m＜2时，f(m)＝(m2+5m)/(6)=m可得m=1，n=4，符合题意
（iii）当m=0时，定义域[0，4]，f（3）=4＞f（4）=2，故值域为[0，4]符合题意
综上可得符合题意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）
故选D．