证明对正数x1,x2都有x1lnx1+x2lnx2>=(x1+x2)(ln(x1+x2)-ln2)

Question

证明对正数x1,x2都有x1lnx1+x2lnx2>=(x1+x2)(ln(x1+x2)-ln2)

Answer 1

假设f(x)为增.f(0)=0.f(ln(x1+x2+...+xn))=g(x)>h(x)=f(lnx1)+...+f(lnxn),{xn}为递增的.如果{xn}中有在(0,1)的项t,则lnt1,假设g(x)中有t个项属于(0,1)则g(x)>0的概率为(n-t)/n,而对于f(x)来说,那怕t接近n,只要有一个x>=1,或者x小于1,但是接近1,都能满足f(x)>0,所以f(x)>0的概率为%99.99甚至可能是%100.而g(x)>0的概率是(n-t)/n>=1/2,因为lnx在(0,1)上的递增程度都>在[1,+无穷)的.解得t10的时候,f(x)>=0,g(x)取道(0,0.1)的概率也为n/10,几乎可以肯定,当n>10的时候一定有一个数接近远远小于0,并且全部g(x)之和远远远远小于0.假设t正常随机取,在保证n足够大的情况下,g(x)几乎一定有属于(0,1)的x,根据蝴蝶效应,就会有很多数才能弥补这个初始值,剩下的项自然很难和f(x)来抗衡了