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设函数f(x)=x^2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若存在x0∈R,使f(x0)<0与g(x0)同时成立,则实数a的取值范围是
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设函数f(x)=x^2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若存在x0∈R,使f(x0)<0与g(x0)同时成立,则实数a的取值范围是
▼优质解答
答案和解析
由f(x)=x2-ax+a+3知f(0)=a+3,f(1)=4,
又存在x0∈R,使得f(x0)<0,
知△=a2-4(a+3)>0即a<-2或a>6,
另g(x)=ax-2a中恒过(2,0),
故由函数的图象知:
①若a=0时,f(x)=x2-ax+a+3=x2+3恒大于0,显然不成立.
②若a>0时,g(x0)<0⇔x0<2
a>0
f(2)<0
⇒a>7
③若a<0时,g(x0)<0⇔x0>2
此时函数f(x)=x2-ax+a+3图象的对称轴x=
a
2
<−1,
故函数在区间(
a
2
,+∞)上为增函数
又∵f(1)=4,
∴f(x0)<0不成立.
故答案为:(7,+∞).
又存在x0∈R,使得f(x0)<0,
知△=a2-4(a+3)>0即a<-2或a>6,
另g(x)=ax-2a中恒过(2,0),
故由函数的图象知:
①若a=0时,f(x)=x2-ax+a+3=x2+3恒大于0,显然不成立.
②若a>0时,g(x0)<0⇔x0<2
a>0
f(2)<0
⇒a>7
③若a<0时,g(x0)<0⇔x0>2
此时函数f(x)=x2-ax+a+3图象的对称轴x=
a
2
<−1,
故函数在区间(
a
2
,+∞)上为增函数
又∵f(1)=4,
∴f(x0)<0不成立.
故答案为:(7,+∞).
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