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已知函数f(x)=x2+2ax+1,g(x)=2x+2a(a∈R)(1)若对任意x∈R,不等式f(x)≥12g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)设函数m(x)=g(x),f(x)≥g(x)f(x),f(x)<g(x),求m(x)在x∈[2,4]上的
题目详情
已知函数f(x)=x2+2ax+1,g(x)=2x+2a(a∈R)
(1)若对任意x∈R,不等式f(x)≥
g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设函数m(x)=
,求m(x)在x∈[2,4]上的最小值.
(1)若对任意x∈R,不等式f(x)≥
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(2)设函数m(x)=
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▼优质解答
答案和解析
(1)若不等式f(x)≥
g(x)恒成立,
即x2+(2a-1)x+(1-a)≥0恒成立,
即△=(2a-1)2-4(1-a)≤0,
即4a2-3≤0,
解得a∈[−
,
],
故实数a的取值范围为:[−
,
];
(2)f(x)-g(x)=x2+(2a-2)x+(1-2a)=[x+(2a-1)](x-1),
若2a-1=-1,即a=0时,
f(x)-g(x)=x2+1-2x=(x-1)2≥0恒成立,此时f(x)≥g(x)恒成立,
故此时m(x)=g(x)=2x,
由m(x)在x∈[2,4]上为增函数,故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=4;
若2a-1≠-1,即a≠0时,
f(x)-g(x)有两个零点1-2a,1,
即f(x),g(x)的图象有两个交点,如下图所示:
若1-2a<1,即a>0时,
m(x)在x∈[2,4]上为增函数,故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=g(2)=4+2a;
若1-2a>1,即a<0时,
当-a>4,即a<-4时,m(x)在x∈[2,4]上为减函数,
故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(4)=f(4)=17+8a;
当2≤-a≤4,即-4≤a≤-2时,m(x)在x∈[2,-a]上为减函数,在x∈[-a,4]上为增函数,
故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(-a)=f(-a)=1-a2;
当-a<2<1-2a,即-2<a<-
时,m(x)在x∈[2,4]上为增函数,
故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=f(2)=5+4a;
当2≥1-2a,即-
≤a<0时,m(x)在x∈[2,4]上为增函数,
故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=g(2)=4+2a;
综上所述:m(x)在x∈[2,4]上的最小值为:
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即x2+(2a-1)x+(1-a)≥0恒成立,
即△=(2a-1)2-4(1-a)≤0,
即4a2-3≤0,
解得a∈[−
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故实数a的取值范围为:[−
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2 |
(2)f(x)-g(x)=x2+(2a-2)x+(1-2a)=[x+(2a-1)](x-1),
若2a-1=-1,即a=0时,
f(x)-g(x)=x2+1-2x=(x-1)2≥0恒成立,此时f(x)≥g(x)恒成立,
故此时m(x)=g(x)=2x,
由m(x)在x∈[2,4]上为增函数,故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=4;
若2a-1≠-1,即a≠0时,
f(x)-g(x)有两个零点1-2a,1,
即f(x),g(x)的图象有两个交点,如下图所示:
若1-2a<1,即a>0时,
m(x)在x∈[2,4]上为增函数,故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=g(2)=4+2a;
若1-2a>1,即a<0时,
当-a>4,即a<-4时,m(x)在x∈[2,4]上为减函数,
故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(4)=f(4)=17+8a;
当2≤-a≤4,即-4≤a≤-2时,m(x)在x∈[2,-a]上为减函数,在x∈[-a,4]上为增函数,
故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(-a)=f(-a)=1-a2;
当-a<2<1-2a,即-2<a<-
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故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=f(2)=5+4a;
当2≥1-2a,即-
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故此时m(x)在x∈[2,4]上的最小值为m(2)=g(2)=4+2a;
综上所述:m(x)在x∈[2,4]上的最小值为:
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