设f（x）在[0，a]上非负，f（0）=0，f″（x）＞0，（X，Y）为y=f（x），y=0及x=a围成区域的形心，证明：X＞2a3．

Question

设f（x）在[0，a]上非负，f（0）=0，f″（x）＞0，（X，Y）为y=f（x），y=0及x=a围成区域的形心，证明：X＞(2a)/(3)．

Answer 1

证明：∵X＝(∫a0xf(x)dx)/(∫a0f(x)dx)．
∴要证明X＞(2a)/(3)，即要证明(∫a0xf(x)dx)/(∫a0f(x)dx)＞(2a)/(3)，只要证明

∫

a 0

(x−(2a)/(3))f(x)dx＞0．
令F(x)＝

∫

x 0

(t−(2x)/(3))f(t)dt，则只需证明F（a）＞0，
又F（0）=0
且F′(x)＝(xf(x))/(3)−(2)/(3)

∫

x 0

f(t)dt，F′(0)＝0，
∴F″(x)＝(xf′(x))/(3)−(1)/(3)f(x)＝(x)/(3)[f′(x)−(f(x))/(x)]
根据拉格朗日中值定理，(f(x))/(x)＝(f(x)−f(0))/(x−0)＝f′(ξ)，ξ∈(0，x)
∴F″(x)＝(xf′(x))/(3)−(1)/(3)f(x)＝(x)/(3)[f′(x)−f′(ξ)]，ξ∈(0，x)
因为f″（x）＞0，所以f′（x）单调增加，于是F″（x）＞0．
由

F″(x)＞0

F′(0)＝0

，得F'（x）＞0（x＞0）．
再由

作业帮用户 2017-10-31 举报

问题解析

首先根据形心的计算公式将X表示出来，然后将其转化为证明定积分大于0，再转化为变上限积分大于0．

名师点评

本题考点：

形心的计算．

考点点评：

将要证明的问题转化为变上限积分函数的值是基础，利用变上限积分函数的一阶导数和二阶导数的符号，来证明变上限积分的单调性．

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