若a1,a2,a3,a4是四个不同的正整数,取值于1,2,3,4.记S=(a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a4)^2+(a4-a1)^2,若S的最大值为M,最小值为m,则M-m的值为.

Question

若a1,a2,a3,a4是四个不同的正整数,取值于1,2,3,4.记S=(a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a4)^2+(a4-a1)^2,若S的最大值为M,最小值为m,则M-m的值为_____.

Answer 1

由题意将S展开,得到
S=2（a1^2+a2^2+a3^2+a4^2）-2(a1+a3) (a2+a4)
无论a1,a2,a3,a4怎样取值（在1、2、3、4中取）
2（a1^2+a2^2+a3^2+a4^2）都恒定为 60
关键在于 (a1+a3) (a2+a4) 的变化
我们知道
当a1+a2+a3+a4=10 恒定时,那么 a1+a3 与 a2+a4 的差的绝对值越小,
它们的乘积就越大,反之 a1+a3 与 a2+a4 的差的绝对值越大,乘积越小,
因此 当a1+a3= a2+a4=5时S取得最小值,m=10
当a1+a3=3,a2+a4=7；或a1+a3=7,a2+a4=3时,S取得最大值M=18
故M-m=8
所以我觉得不是楼上说的6,这只是鄙人做法!如果有出错还望指出改正!