已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an（4-an），n∈N．（1）证明an＜an+1＜2，n∈N；（2）求数列{an}的通项公式an．

Question

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a₀=1，a_n+1=(1)/(2)an（4-a_n），n∈N．
（1）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

（1）1°当n=1时，a0=1，a1=12a0（4-a0）=32，∴a0＜a1＜2，命题正确．2°假设n=k时有ak-1＜ak＜2．则n=k+1时，ak-ak+1=12ak−1（4-ak-1）-12ak（4-ak）=2（ak-1-ak）-12（ak-12-ak2）=12（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）．...