设函数f（x）在区间[0，1]上连续，并设∫10f(x)dx＝A，求∫10dx∫1x∫f(x)f(y)dy．

Question

设函数f（x）在区间[0，1]上连续，并设

∫

1 0

f(x)dx＝A，求

∫

1 0

dx

∫

1 x

∫f(x)f(y)dy．

Answer 1

【解法一】交换积分顺序，可得
  

∫

1 0

dx

∫

1 x

∫f(x)f(y)dy 
=

∫

1 0

 dy

∫

y 0

f(x)f(y) dx 
=

∫

1 0

dx

∫

x 0

f(y) f(x) dy （∵积分值与积分变量无关）
从而，
   2

∫

1 0

dx

∫

1 x

∫f(x)f(y)dy 
=

∫

1 0

dx

∫

1 x

∫f(x)f(y)dy+

∫

1 0

dx

∫

x 0

f(y) f(x) dy 
=

∫

1 0

dx(

∫

1 x

 +

∫

x 0

 ) f(x)f(y) dy
=

∫

1 0

dx

∫

1 0

f(x)f(y) dy
=

∫

1 0

f(x)dx

∫

1 0

f(y) dy 
=A²．
所以

∫

1 0

dx

∫

1 x

∫f(x)f(y)dy=(1)/(2)A2 ．
【解法2】利用分部积分法．
I=

∫

1 0

dx

∫

1 x

∫f(x)f(y)dy  
=

作业帮用户 2016-12-07

问题解析

注意到被积函数 f（x）f（y） 对于变量 x，y 具有轮换性质，可以利用交换积分顺序的方法求

∫

1 0

dx

∫

1 x

∫f(x)f(y)dy 的值．另外，注意到已知条件

∫

1 0

f(x)dx＝A，也可以利用分部积分法进行计算．

名师点评

本题考点：

二重积分的计算；定积分的分部积分法．

考点点评：

本题是一个综合性比较强的题目．需要熟练掌握定积分的计算方法--交换积分次序法与分部积分法．题目综合性比较强，但是计算过程并不复杂．

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