一道关于高等数学微分中值定理的证明题目.

Question

一道关于高等数学微分中值定理的证明题目.

Answer 1

分析：要证明存在一点,使得f'(x)＞1,即f'(x)-1＞0,而f'(x)-1是f(x)-x的导数,所以可以考虑对F(x)=f(x)-x使用中值定理,找到一个区间[a,b],只要F(b)-F(a)＞0即可.
证明：令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)=0,F(1)=0.
f(x)在[0,1]上不恒等于x,所以存在一点η∈(0,1),使得f(η)≠η,即F(η)≠0.
若F(η)＞0,则在[0,η]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(0,η),使得F'(ξ)=(F(η)-F(0))/η=F(η)/η＞0,所以f'(ξ)＞1.
若F(η)＜0,则在[η,1]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(η,1),使得F'(ξ)=(F(1)-F(η))/(1-η)=-F(η)/(1-η)＞0,所以f'(ξ)＞1.
结论得证.