证明高斯面电势平均值等于球心电势证明在一个假象的球面上电势的平均值等于球心电势.（球内没有电荷）用高斯定理

Question

证明高斯面电势平均值等于球心电势
证明在一个假象的球面上电势的平均值等于球心电势.（球内没有电荷）
用高斯定理

Answer 1

给一个证明,会涉及到积分和求导符号,不知道能看懂不.
设有一个球面,设其半径为R,球心为坐标原点.下面会把电势随空间的分布用球坐标表示：V(r,theta,phi).球心的电势即V(r=0),球面上的电势为V(r=R,theta,phi).
因为这个球面中不包含电荷,所以穿过这个球面的电通量为零（高斯定理）,并根据电场是电势的导数,而电场在球面法向上的分量是电势V对r的偏导(\p V)/(\p r)【这里的\p代表偏导符号】.于是得到积分：\int (\p V)/(\p r) dA=0.【这个式子里的\int代表对球面积分,dA是球面的面积微元,即dA=R^2 sin(theta) d_theta d_phi】.继续将方程两面除以R^2,得到\int (\p V)/(\p r) d_Omega=0.这里d_Omega是立体角微元d_Omega=sin(theta) d_theta d_phi.
注意上面这个方程不仅仅在半径为R的球面上成立,而是对于所有r