怎样证明对于任意自然数n来说,总能使（n+1）的2005次方+n的2005次方+（n-1）的2005次方-3n被10整除?

Question

怎样证明对于任意自然数n来说,总能使（n+1）的2005次方+n的2005次方+（n-1）的2005次方-3n被10整除?

Answer 1

若n为奇数,则n+1与n-1均为偶数,(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n为偶数.
若n为偶数,则n+1与n-1均为奇数,(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n也为偶数.
于是(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n总被2整除.
下面证明,对任意自然数m,m^2005-m总被5整除.
m^2005-m = m(m^2004-1) = m(m^1002-1)(m^1002+1) = m(m^501-1)(m^501+1)(m^1002+1).
若m被5整除,结论成立.若m不被5整除,则m^501也不被5整除,其除以5的余数可能为1,2,3,4.
若m^501除以5的余数为1,则m^501-1被5整除,结论成立.
若m^501除以5的余数为4,则m^501+1被5整除,结论成立.
若m^501除以5的余数为2或3,则m^1002除以5的余数为4,m^1002+1被5整除,结论成立.
依次取m = n+1,n,n-1得(n+1)^2005-(n+1),n^2005-n,(n-1)^2005-(n-1)都被5整除.
于是它们的和(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n总被5整除.
综合得(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n总被10整除.
如果知道Fermat小定理,并熟悉同余的性质,证明可以更简单.