定积分上限正无穷,下限零（2x/θ）*e^(-2x/θ)dx=θ/2 这个结果是怎么算出来的,

Question

定积分上限正无穷,下限零（2x/θ）*e^(-2x/θ)dx=θ/2 这个结果是怎么算出来的,

Answer 1

[0,+∞] ∫ (2x/θ)*e^(-2x/θ)dx
=[0,+∞] ∫ (-x)*e^(-2x/θ)d(-2x/θ)
=[0,+∞] ∫ (-x)d[e^(-2x/θ)]
=[0,+∞] (-x)[e^(-2x/θ)] - ∫e^(-2x/θ)d(-x)
=[0,+∞] (-x)[e^(-2x/θ)] - θ/2 ∫e^(-2x/θ)d(-2x/θ)
= (-x)[e^(-2x/θ)] - θ/2 * e^(-2x/θ) | [0,+∞]
=θ/2