已知直线L：y=3x+3,求（1）点P（4,5）关于L的对称点；（2）直线x-y-2=0关于直线L对称的直线方程.太简单学渣表示会看不懂.

Question

已知直线L：y=3x+3,求（1）点P（4,5）关于L的对称点；（2）直线x-y-2=0关于直线L对称的直线方程.
太简单学渣表示会看不懂.

Answer 1

已知直线L：y=3x+3,求（1）点P（4,5）关于L的对称点；（2）直线x-y-2=0关于直线L对称的直线方程.
(1).设对称点P'的坐标为(m,n),那么P'P的中点((m+4)/2,(n+5)/2)必在L上,因此有等式：
(n+5)/2=(3/2)(m+4)+3,化简得 3m-n+13=0.(1)
P'P⊥L,因此P'P所在直线的斜率k=(n-5)/(m-4)=-1/3,化简得：
m+3n-19=0.(2)
(1)(2)联立解得m=-2,n=7；即对称点P'的坐标为(-2,7).
(2).直线L：y=3x+3.(1)；直线L₁：y=x-2.(2)；
联立求得两直线的交点M(-5/2,-9/2)；
在直线L上任取一点,比如P(-1,0)；
过P作L的垂直线y=-(1/3)(x+1).(3),与(2)联立求解,即
令x-2=-(1/3)(x+1),解得x=5/4,y=-3/4,即(3)与(2)的交点为N(5/4,-3/4)；
设与N关于L对称的点N‘的坐标为(m,n),
那么NN'的 中点((m+5/4)/2,(n-3/4)/2)=((4m+5)/8,(4n-3)/8)就是点P,故有
(4m+5)/8=-1,于是得m=-13/4；(4n-3)/8=0,即有n=3/4；即N'的坐标为(-13/4,3/4)；
MN'所在的直线即为所求.
KMN'=(3/4+9/2)/(-13/4+5/2)=-7；
故所求之对称线的方程为：y=-7(x+5/2)-9/2,即7x+y+22=0为所求.