两圆相离的圆系问题已知圆f(x,y)与直线L,求圆f(x,y)关于直线L的对称圆g(x,y),其中f(x,y)与g(x,y）相离.我解这题时是先设g(x,y),再用(D1-D2)x+(E1-E2)y+（F1-F2）=0让他的各项系数等于直线L中对应的各项系

Question

两圆相离的圆系问题
已知圆f(x,y)与直线L,求圆f(x,y)关于直线L的对称圆g(x,y),其中f(x,y)与g(x,y）相离.
我解这题时是先设g(x,y),再用(D1-D2)x+(E1-E2)y+（F1-F2）=0让他的各项系数等于直线L中对应的各项系数,但算出来的结果是g(x,y)的圆不存在.
后来我做进一步的尝试,f(x,y)加上A倍的直线L（A为常数）,得出的是与答案同样的圆g(x,y).
为什麽这两种解法一个解的出来而一个解不出来?
我记得如果两圆相离,那么两圆方程相减得出的应该是两圆圆心连线的中垂线.而圆系方程应该是在两圆有交点时才能用的,那么上述的话是否是通过圆系做出来的?还是说他碰巧符合圆系方程?
我做的题目：
f(x,y):x^2+y^2-2x-1=0
直线L为2x-y+3=0

Answer 1

假设对称圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
x^2+y^2-2x-1=0
(D+2)x+Ey+F-1=0
直线是2x-y+3=0
(D+2)/2=E/-1=(F-1)/3
解得D=6 E=-4 F=13
所以方程为x^2+y^2+6x-4y+13=0
我用的方法和楼主方法一样,可以求出来啊
过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为：
x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F1＋a（Ax+By+C)=0
x^2+y^2-2x-1+a(2x-y+3)=0
x^2-2x+2ax+y^2-ay-1+3a=0
x^2-2(1-a)x+(1-a)^2+y^2-ay+a^2/4-(1-a)^2-a^2/4+3a-1=0
(x-(1-a))^2+(y-a/2)^2=1-3a+a^2/4+(1-a)^2
1-3a+a^2/4+(1-a)^2=2
-12a+a^2+4(a^2+1-2a)=4
a^2-12a+4a^2+4-8a-4=0
5a^2-20a=0
a=4 a=0(原圆方程)
的确也得到了正确的结果.
也就是用圆系方程可以解决该类的对称问题.
究竟是什么原因可能大学才能学到.
我可以简单说一下
假设圆方程x^2+y^2-1=0
对称曲线是x=2
那么圆系方程求出来肯定是对的结果.
实际上直线与圆没有实得交点,但是有两个虚的交点.分别是(2,根号3i)(2,-根号3i),实际上圆系方程满足了过这两个虚的交点.
从高中看来没有交点,但是从大学看来还是有交点的.而且只要这两个交点固定,半径大小固定,那么肯定能求出相应的两个圆的方程（一个是自己,一个是对称圆）,也算是圆系方程的一种妙用吧
思考了好长时间,还是觉得要引入大学的虚数才能解释.