我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同）,建

Question

我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同）,建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如图②,过点B作直线BE：y=
13x-1交C1于点E（-2,-
53）,连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3,0）、B（3,0）,可设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）；
抛物线C1还经过D（0,﹣3）,则有：
﹣3=a（0﹣3）（0+3）,a=
即：抛物线C1：y= x2﹣3（﹣3≤x≤3）；
抛物线C2还经过A（0,1）,则有：
1=a（0﹣3）（0+3）,a=﹣
即：抛物线C2：y=﹣ x2+1（﹣3≤x≤3）．
（2）由于直线BE：y= x﹣1必过（0,﹣1）,所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO= ）；
由E点坐标可知：tan∠AOE≠ ,即∠AOE≠∠CBO,所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,只需考虑两种情况：
①∠CBP1=∠EBO,且OB：BE=BP1：BC,即：
3：=BP1：,得：BP1= ,OP1=OB﹣BP1= ；
∴P1（ ,0）；
②∠P2BC=∠EBO,且BC：BP2=OB：BE,即：
：BP2=3：,得：BP2= ,OP2=BP2﹣OB= ；
∴P2（﹣ ,0）．
综上,符合条件的P点有：P1（ ,0）、P2（﹣ ,0）．
（3）如图,作直线l∥直线BE,设直线l：y= x+b；
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时：
x+b= x2﹣3,即：x2﹣x﹣（3b+9）=0
∴该交点Q2（ ,﹣ ）；
Q2到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：= = ；
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时：
x+b=﹣ x2+1,即：x2+3x+9b﹣9=0
∴该交点Q1（﹣ ,）；
Q1到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：= ；
∴符合条件的Q点为Q1（﹣ ,）；
△EBQ的最大面积：Smax= ×BE× = ．
点评：
考查了二次函数综合题．该题的难度和计算量都比较大,涉及了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的解法等重点知识；解答（2）题时,应注意分不同的对应边来进行讨论,以免漏解．（3）的难度较大,点到直线的距离公式【点（x0,y0）到直线（Ax+By+C=0）的距离为：d= 】是需要记住的内容．另外,题目在设计时结合了一定的生活元素,形式较为新颖．