若奇函数f（x)=x³＋(b-1)x²＋cx的3个零点x1,x2,x3满足x1x2＋x2x3＋x1x3=-2010,则b＋c=

Question

若奇函数f（x)=x³＋(b-1)x²＋cx的3个零点x1,x2,x3满足x1x2＋x2x3＋x1x3=-2010,则b＋c=

Answer 1

∵ f（x）是奇函数
∴ f（-x）=-f（x）
∴ 对任意的x,有-x³+（b-1）*（-x）²+c*（-x）=-x³-（b-1）x²-cx
化简,得2（b-1）x²=0
∴ b=1
原函数即f（x）=x³+cx
当f（x）=0时,x³+cx=0
x（x²+c）=0
解方程得有一解为0,另两个解为x²+c=0的根.
不妨设零点x1=0,另两个零点为x2和x3
由一元二次方程根与系数的关系,得x2x3=c
∴ x1x2+x2x3+x1x3=0+c+0=-2010
∴ c=-2010
所以,b+c=1+（-2010）=-2009