已知x的4次方+m x的3次方+nx-16有因式x-1和 x-2,求m和 n的值,并将这个多项式分解因式

Question

已知x的4次方+m x的3次方+nx-16有因式x-1和 x-2,求m和 n的值,并将这个多项式分解因式

Answer 1

这个多项式有因式x-1和x-2,也就是说,如果这个多项式等于0的时候,x-1=0和x-2=0都是这个多项式的解
将x=1和x=2分别代入这个多项式得到二元一次方程组
m+n=15
8m+2n=0
解得m=-5,n=20
所以这个多项式为x^4-5x^3+20x-16
因为多项式有因式x-1和x-2,而x-1和x-2的成绩等于x^2-3x+2,所以我们在因式分解的过程当中,就要注意凑出x^2-3x+2来,比如说x^2(x^2-3x+2),x(x^2-3x+2)等等
x^4-5x^3+20x-16=x^4-3x^3+2x^2-2x^2-2x^3+20x-16
=x^2(x^2-3x+2)-2x^3-2x^2+20x-16
=x^2(x^2-3x+2)-2x^3+6x^2-6x^2-4x+4x-2x^2+20x-16
=x^2(x^2-3x+2)-2x(x^2-3x+2)-8x^2+24x-16
=x^2(x^2-3x+2)-2x(x^2-3x+2)-8(x^2-3x+2)
=(x^2-3x+2)(x^2-2x-8)=(x-1)(x-2)(x+2)(x-4)