计算方程x""+x=cos t的通解.进而计算方程关于初值x(0)=1,dx/dt(0)=0的解

Question

计算方程x''+x=cos t的通解.进而计算方程关于初值x(0)=1,dx/dt(0)=0的解

Answer 1

特征方程为λ^2+1=0
得λ=i,-i
所以齐次方程的通解为x1=c1cost+c2sint
方程右端为cost,设特解为x*=atcost+btsint
代入：x*'=-atsint+acost+btcost+bsint
x*"=-atcost-2asint-btsint+2bcost
x*"+x*=-2asint+2bcost=cost
对比系数得：2b=1,-2a=0,得：b=1/2,a=0
因此x*=0.5tsint
所以原方程通解为x=c1cost+c2sint+0.5tsint
x(0)=c1=1
x'(t)=-c1sint+c2cost+0.5tcost+0.5sint
x'(0)=c2=0
因此特解为x(t)=cost+0.5tsint