一道线代题,题目不是重点,重点是用什么定理好?设n维基本向量组{ e1,e2,...,en}可由向量组{α1,α2,...,αn}线性表示.证明：α1,α2,...,αn 线性无关.思路1：∵{α1,α2,...,αn}也由基本向量组{ e1,e2,...,en}

Question

一道线代题,题目不是重点,重点是用什么定理好?
设n维基本向量组{ e1,e2,...,en}可由向量组{α1,α2,...,αn}线性表示.证明：α1,α2,...,αn 线性无关.
思路1：∵{α1,α2,...,αn}也由基本向量组{ e1,e2,...,en}线性表示.
∴两个向量组等价.
∵等价的向量组秩相等.
∴向量组{α1,α2,...,αn}的秩为n.
∴向量组{α1,α2,...,αn}线性无关.
思路2：设矩阵Cnxn使得[e1,e2,...,en]=[α1,α2,...,αn]C.
∴|e1,e2,...,en|=|α1,α2,...,αn||C|≠0
∴n阶方阵[α1,α2,...,αn]线性无关.
我这两个思路对吗,对于每一步骤的相关定理应用正确吗?求教...
书上并没有明确的定理说明从“向量组{α1，α2，...αn}的秩为n”可以直接推出“向量组{α1，α2，...αn}线性无关”.虽然是显而易见.
所以我觉得标准推理过程应该是：
∴向量组{α1，α2，...αn}的秩为n.
∴矩阵[α1，α2，...αn]可逆.
∴|α1，α2，...αn|≠0.
∴向量组{α1，α2，...αn}线性无关.
所以方法最终还是归结到思路2，所以我觉得思路2更简单明了.希望大家给点意见...

Answer 1

思路一比较符合课本的推理过程,比较容易想到,二技巧性强些怕到时候想不起来或者有遗漏,如果是我还是用思路一
另：“向量组{α1,α2,...,αn}的秩为n”可以直接推出“向量组{α1,α2,...,αn}线性无关”.这个书上是有明确的定理的,我用的是清华的课本,刚才查了下是线性方程组这一章的定理2.9：向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩等于它所含向量的个数.