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数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
题目详情
数列{an}满足a1=1且an+1=(1+
)an+
(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
1 |
n2+n |
1 |
2n |
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:
①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),
那么ak+1=(1+
)ak+
≥2.这就是说,当n=k+1时不等式成立.
根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.
(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+
)an+
≤(1+
+
)an(n≥1)
两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1+
+
)+lnan≤lnan+
+
故lnan+1-lnan≤
+
(n≥1).
上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤
+
+…+
+
+
+…+
=1-
+(
-
)+…+
-
+
•
=1-
+1-
<2
即lnan<2,故an<e2(n≥1).
①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),
那么ak+1=(1+
1 |
k(k+1) |
1 |
2k |
根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.
(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+
1 |
n2+n |
1 |
2n |
1 |
n2+n |
1 |
2n |
两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1+
1 |
n2+n |
1 |
2n |
1 |
n2+n |
1 |
2n |
故lnan+1-lnan≤
1 |
n(n+1) |
1 |
2n |
上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
(n−1)n |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n−1 |
=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n−1 |
1 |
n |
1 |
2 |
1−
| ||
1−
|
1 |
n |
1 |
2n |
即lnan<2,故an<e2(n≥1).
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