y乘以根号下(1-x^2)三重积分,积分区域由y=- 根号下（1-x^2-z^2）,x^2+z^2=1,y=1围成

Question

y乘以根号下(1-x^2)三重积分,积分区域由y=- 根号下（1-x^2-z^2）,x^2+z^2=1,y=1围成

Answer 1

∫∫∫Ω y√(1 - x^2) dV
= ∫∫∫(左半球体) y√(1 - x^2) dV + ∫∫∫(右圆柱体) y√(1 - x^2) dV
{ z = rcosθ,x = rsinθ,y = y
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(- √(1 - r^2)→0) y√(1 - r^2sin^2θ) dy + ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(0→1) y√(1 - r^2sin^2θ) dy
= - 32/45 + 4/3
= 28/45