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如图,已知矩形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥AD,E、F为垂足.求证：四边形AEPF∽矩形ABCD.
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如图,已知矩形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥AD,E、F为垂足.求证：四边形AEPF∽矩形ABCD.
▼优质解答
答案和解析
证明
∵PE⊥AB,PF⊥AD
∴四边形AEPF为矩形,这样矩形ABCD的四个角和矩形AEPF的四个角都是直角,对应相等.
∵PE⊥AB
∴△AEP∽△ABC
∴AE∶AB=EP∶BC
∵EP=AF,AB=CD,BC=AD,AE=FP
∴AB∶AE=PF∶CD=AF∶AD=EP∶BC
即两个矩形的四条边对应成比例
∴矩形ABCD∽矩形AEPF
∵PE⊥AB,PF⊥AD
∴四边形AEPF为矩形,这样矩形ABCD的四个角和矩形AEPF的四个角都是直角,对应相等.
∵PE⊥AB
∴△AEP∽△ABC
∴AE∶AB=EP∶BC
∵EP=AF,AB=CD,BC=AD,AE=FP
∴AB∶AE=PF∶CD=AF∶AD=EP∶BC
即两个矩形的四条边对应成比例
∴矩形ABCD∽矩形AEPF
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