已知△ABC的边BC在平面α内,A在平面α上的射影为次A,当∠BAC为直角时,求证角次ABC为钝角三角形.当∠BAC=60°,AB,AC与平面α所成的角分别是30°和45°,求B次AC的余弦值

Question

已知△ABC的边BC在平面α内,A在平面α上的射影为次A,当∠BAC为直角时,求证角次ABC为钝角三角形.
当∠BAC=60°,AB,AC与平面α所成的角分别是30°和45°,求B次AC的余弦值

Answer 1

题目：
已知△ABC的边BC在平面α内,A在平面α上的射影为A",
1）当∠BAC为直角（RT∠）时,求证：△A"BC为钝角三角形.
2）当∠BAC=60°,AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°,求BA"C的余弦值（cos∠BA"C）
问题一：
当∠BAC为直角（RT∠）时,求证：△A"BC为钝角三角形.
证明：设AA"=h,AC=a,BC=b,AC=a,并且b>a>0,b>c>0,h>0
∵ △ABC的在平面α上的射影为A"
∴ AA"⊥平面α,根据线面垂直得到：
AA"⊥A"B； ➡ △A"AB为直角三角形Rt△,∠AA"B=RT∠=90°
AA"⊥A"C； ➡ △A"AC为直角三角形Rt△,∠AA"C=RT∠=90°
∵ AB=a,AC=b,BC=a,已经求得：△A"AB、 △A"AC为直角三角形Rt△
∴ A"B²=AB²-A"A²=c²-h² ➡ A"B=√(c²-h²) 【说明：√()表示：()内的开根号,以下雷同】
A"C²=AC²-A"C²=a²-h² ➡ A"C=√(a²-h²)
又∵ ∠BAC为直角（RT∠）
∴ a²+c²=b² 等式①
∵ ∠A"BC为△A"BC的一内角
∴ 根据余弦定理得到：
BC²=A"B²+A"C²-2A"B×A"C×cos∠BA"C
cos∠BA"C=(A"B²+A"C²-BC²) ÷ 2A"B×A"C 等式②
AC=a,BC=b,AC=a,A"B=√(c²-h²),A"C=√(a²-h²),代入等式②
cos∠BA"C=(A"B²+A"C²-BC²) ÷ 2A"B×A"C
=(c²-h²+a²-h²-b²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²)
=(c²+a²-b²-2h²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²) 把等式①代入得
=(-2h²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²)
∵ b>a>0,b>c>0,h>0
∴ 2×√(c²-h²)×√(a²-h²)>0
cos∠BA"C=(-2h²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²)