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如图,在正方形ABCD中,E为BC上一点,CF平分角DCG,AE垂直EF,求证AE=EF.
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如图,在正方形ABCD中,E为BC上一点,CF平分角DCG,AE垂直EF,求证AE=EF.
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答案和解析
在CG上取点H,使CH=BE,则:EH=BC=AB
作HF'⊥CG,交角DCG的平分线于F',则HF'=CH=BE
连EF'
则:△ABE≌△EHF'
所以,AE=EF'
且:∠BAE=∠HEF'
而:∠BAE+∠AEB=90
所以,∠HEF'+∠AEB=90
所以,∠AEF'=180-(∠HEF'+∠AEB)=180-90=90
即:AE垂直EF'
而:AE垂直EF
所以,F、F'是同一点
所以:AE=EF
作HF'⊥CG,交角DCG的平分线于F',则HF'=CH=BE
连EF'
则:△ABE≌△EHF'
所以,AE=EF'
且:∠BAE=∠HEF'
而:∠BAE+∠AEB=90
所以,∠HEF'+∠AEB=90
所以,∠AEF'=180-(∠HEF'+∠AEB)=180-90=90
即:AE垂直EF'
而:AE垂直EF
所以,F、F'是同一点
所以:AE=EF
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