已知f(x)= -x^2-2x g(x)= 分段函数 x+1/4x（x>0）,x+1（x

Question

已知f(x)= -x^2-2x g(x)= 分段函数 x+1/4x（x>0）,x+1（x

Answer 1

（一）f(x)=-x²-2x≤0.===>x∈(-∞,-2]∪[0,+∞).∴复合函数g[f(x)]=f(x)+1=-(x+1)²+2.(x∈(-∞,-2]∪[0,+∞)).数形结合可知,此时函数g[f(x)]在(-∞,-2]上递增,值域为(-∞,1],在[0,+∞)上递减,值域是(-∞,1].(请画出在这两个区间上的图像）（二）f(x)=-x²-2x＞0.===>x∈(-2,0).此时值域为f(x)∈(0,1].将区间(-2,0)分为四个小区间：（-2,0)=(-2,-(2+√2)/2)∪[-(2+√2)/2,-1)∪[-1,(-1+√2)/2)∪[(-1+√2)/2,0).【即-2-->-(2+√2)/2.--->-1.--->-(-2+√2)/2.-->0.】在这四个小区间上,函数单调性依次为增,增,减,减.值域依次为(0,1/2),[1/2,1),[1/2,1],(0,1/2).再由复合函数单调性及“对勾函数单调性”可知,在上面四个小区间上,复合函数g[f(x)]依次减,增,减,增.值域依次为[1,+∞),[1,5/4),[1,5/4),[1,+∞).【请画出复合函数在这四个小区间上的图像.】数形结合可知,当1≤a＜5/4时,该复合函数g[f(x)]图像与直线y=a恰有四个交点.