绝对有货,就是没悬赏分了：广义积分是否适用于振荡间断点的情况无界函数的广义积分是否可以推广,使存在振荡间断点的函数也能求定积分?如（1）被积函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),[当x≠0时]；

Question

绝对有货,就是没悬赏分了：广义积分是否适用于振荡间断点的情况
无界函数的广义积分是否可以推广,使存在振荡间断点的函数也能求定积分?
如（1）被积函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),[当x≠0时]；f(x)=0,[当x=0时].（被积函数是有界的,按Lebesgue定理,在[0,1]上它应该是Riemann可积的吧?）
此被积函数的一个原函数为F(x)=x^2*sin(1/x),[当x≠0时];F(x)=0[当x=0时].
那么被积函数在[0,1]上Riemann可积吗,在(0,1]上可以用广义积分的理论对它进行计算吗?
（2）再举一个例子
被积函数f(x)=2x*sin(1/x^2)-2/x*cos(1/x^2),[当x≠0时];f(x)=0,[当x=0时].此被积函数是在x=0的某一临域内是无界的,即在[0,1]上是Riemann不可积的.
它的一个原函数为F(x)=x^2*sin(1/x^2),[当x≠0时];F(x)=0[当x=0时].
那么被积函数在(0,1]可以用广义积分进行计算吗?
嗯,完了,就是这样,多谢能有强人发表一下自己的观点

Answer 1

我记得几天前professor讲课的时候说Riemann和适用于有间断点的（其余连续）有界函数.在（0,1]上能用广义积分,因为原函数在（0,1]上有定义且连续.
同理,积分的话要求比较低吧,只要在区间内函数连续就可以积了吧.我是这么想的,反正觉得Riemann和没什么用处,还不如无穷级数容易理解和应用.