如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为

Question

如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm²），y关于x的函数图象由C₁，C₂两段组成，如图2所示．

（1）求a的值；
（2）求图2中图象C₂段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．

Answer 1

（1）如图1，作PD⊥AB于D，
∵∠A=30°，
∴PD=(1)/(2)AP=x，
∴y=(1)/(2)AQ•PD=(1)/(2)ax²，
由图象可知，当x=1时，y=(1)/(2)，
∴(1)/(2)×a×1²=(1)/(2)，
解得，a=1；
（2）如图2，作PD⊥AB于D，
由图象可知，PB=5×2-2x=10-2x，
PD=PB•sinB=（10-2x）•sinB，
∴y=(1)/(2)×AQ×PD=(1)/(2)x×（10-2x）•sinB，
∵当x=4时，y=(4)/(3)，
∴(1)/(2)×4×（10-2×4）•sinB=(4)/(3)，
解得，sinB=(1)/(3)，
∴y=(1)/(2)x×（10-2x）×(1)/(3)=-(1)/(3)x²+(5)/(3)x；
（3）(1)/(2)x²=-(1)/(3)x²+(5)/(3)x，
解得，x₁=0，x₂=2，
由图象可知，当x=2时，y=(1)/(2)x²有最大值，最大值是(1)/(2)×2²=2，
-(1)/(3)x²+(5)/(3)x=2，
解得，x₁=3，x₂=2，
∴当2<x<3时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积．