抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1,1）,且过原点O,过抛物线上一点P（x,y）向直线y=4/5作垂线,垂足为点M.（1）求a.b.c的值（2）在直线x=1上有一点F（1,3/4）知否存在点P使以PM为底边的△PFM是等腰三角形?

Question

抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1,1）,且过原点O,过抛物线上一点P（x,y）向直线y=4/5作垂线,垂足为点M.
（1）求a.b.c的值
（2）在直线x=1上有一点F（1,3/4）知否存在点P使以PM为底边的△PFM是等腰三角形?若存在,求点P的坐标,并证明此时△PFM为等边三角形；若不存在,请说明理由

Answer 1

⑴由顶点坐标,及经过原点﹙0,0﹚,由对称性知道A点坐标为﹙2,0﹚,∴可设解析式：y=a﹙x－0﹚﹙x－2﹚,将C点坐标代人得a=－1,展开得y=－x²＋2x∴a=－1,b=2,c=0⑵设P点坐标为：P﹙m,n﹚,则M点坐标为：M﹙m,5／4﹚,由距离公式：MC²=﹙m－1﹚²＋﹙5／4－3／4﹚²,PC²=﹙m－1﹚²＋﹙n－3／4﹚²,∴MC=PC,则代人上式得：n1=1／4,n2=5／4﹙不合题意,舍去﹚∴n=1／4,∵P点在抛物线上,∴n=－m²＋2m=1／4∴解得：m=﹙2±√3﹚／2,∴P点坐标P1﹙﹙2＋√3﹚／2,1／4﹚,P2﹙﹙2－√3﹚／2,1／4﹚有两点符合要求,代人距离公式得：MC=PC=1,由PM=5／4－1／4=1∴MC=PC=PM,∴这个等腰△是一个等边△