直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点.（1）当a为何值时,以AB为直径的圆过原点.（2）是否存在这样的实数a,使得两交点A、B关于y=x对称.若存在,求出a；若不存在,说明理由.

Question

直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点.（1）当a为何值时,以AB为直径的圆过原点.（2）是否存在这样的实数a,使得两交点A、B关于y=x对称.若存在,求出a；若不存在,说明理由.

Answer 1

y=ax＋1代入双曲线,得：
3x²－(ax＋1)²=1
(3－a²)x²－2ax－2=0
则：
x1＋x2=(2a)/(3－a²)、x1x2=2/(a²－3)
因以AB为直径的圆过原点,则：
OA垂直OB【这里是向量】,因OA=(x1,y1)、OB=(x2,y2),则：
x1x2＋y1y2=0
x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)=0
(1＋a²)(x1x2)＋a(x1＋x2)＋1=0
代入,化简,得：
a=±1