已知平面π：2x+y+z=3和直线L：x+2y+z=1;x+y+2z=4.求直线L的对称式方程,平面π与直线L的交点.我知道先求 L的方向向量，但是求出来之后，有一个在直线L上的点，我不明白那个点的坐标是怎么来的

Question

已知平面π：2x+y+z=3和直线L：x+2y+z=1;x+y+2z=4.求直线L的对称式方程,平面π与直线L的交点.
我知道先求 L的方向向量，但是求出来之后，有一个在直线L上的点，我不明白那个点的坐标是怎么来的。

Answer 1

求直线L：x+2y+z=1; x+y+2z=4 上一点：令z=0,由 x+2y=1,x+y=4,得：x=7,y= -3
直线L上的点(7,-3,0).这不是唯一的,也可取 (0,-2/3,7/3),.
直线L的方向向量 T= {1,2,1} ×{1,1,2} = {3,-1,-1}
直线L的对称式方程 (x-7)/3 = (y+3)/(-1) = z/(-1)
x=7+3t,y= -3 -t,z= -t,代入平面π：2x+y+z=3 =》t= -2
=> 平面π与直线L的交点( 1,-1,2)