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已知3sinα^2+2cosβ^2=2sinα,求cosα^2+cosβ^2的取值范围
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已知3sinα^2+2cosβ^2=2sinα,求cosα^2+cosβ^2的取值范围
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答案和解析
由 3sin²α+2cos²β=2sinα → cos²β=sinα-(3/2)sin²α；
∴ cos²α+cos²β=cos²α+sinα-(3/2)sin²α=1+sinα-(5/2)sin²α=(24/25)-(5/2)[sinα-(2/10)]²；
当 sinα=2/10,代数式由极大值 24/25；
当 sinα=-1 时,代数式由极小值 (24/25)-[-1-(2/10)]²=(24/25)-(6/5)²=-12/25；
cos²α+cos²β取值范围：[-12/25,24/25]；
∴ cos²α+cos²β=cos²α+sinα-(3/2)sin²α=1+sinα-(5/2)sin²α=(24/25)-(5/2)[sinα-(2/10)]²；
当 sinα=2/10,代数式由极大值 24/25；
当 sinα=-1 时,代数式由极小值 (24/25)-[-1-(2/10)]²=(24/25)-(6/5)²=-12/25；
cos²α+cos²β取值范围：[-12/25,24/25]；
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