1、如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,对称轴与抛物线相交于点P与直线BC相交于点M,连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面

Question

1、如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,对称轴与抛物线相交于点P
与直线BC相交于点M,连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求点Q的坐标；若不存在,说明理由；

Answer 1

﹙1﹚∵该抛物线经过A（-1,0）、B（3,0）
∴可以设：该抛物线的解析式y=a﹙x－3﹚﹙x＋1﹚ 过点C（0,3）
∴－3a=3 ∴a=﹣1
∴该抛物线的解析式y=－﹙x－3﹚﹙x＋1﹚即y=－﹙x－1﹚²＋4﹙或y=－x²＋2x＋3﹚
﹙2﹚
OA=1 ,OB=3 ,OC=3 ,顶点P﹙1,4﹚
直线PM是：x=1 设直线PM与X轴交于D﹙1,0﹚ 则OD=1 BD=2 PD=4
易得⊿BMD∽⊿BCO ⊿BCO是等腰直角三角形 ∴MD=BD=2 ∴PM=2
∴S⊿PMB=½PM•BD=2 而S⊿DMB=½MD•BD =2
∴S⊿PMB＝S⊿DMB 过D作DH⊥MB于H ∴S⊿PMB＝S⊿DMB=½MB•DH
过D作EF∥BC交抛物线于点E、F ∴ 此时S⊿EMB＝S⊿FMB＝½MB•BH
∵容易求得直线BC：y=－x＋3
∴直线EF：y=－x＋b 又∵它经过点D﹙1,0﹚ ∴－1＋b=0 ∴b=1
∴直线EF：∴ y=－x＋1
于这个抛物线的交点 y=－x＋1
y=－x²＋2x＋3
解这个方程组得x1=[3＋√17]／2 x2=[3－√17]／2
y1=[﹣1－√17]／2 y2=[﹣1＋√17]／2
∴点E【[3＋√17]／2,[﹣1－√17]／2 】,F【[3－√17]／2,[﹣1＋√17]／2】