在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=OA/3+2OB/3.(1)求证:A,B,C三点共线.(2)求|AC|/|CBl的值

Question

在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=OA/3+2OB/3.(1)求证:A,B,C三点共线.(2)求|AC|/|CBl的值

Answer 1

证明：
方法一、向量法

（1）
向量OC=向量OA/3+2*向量OB/3
向量OC-向量OA=向量OA/3+2*向量OB/3-向量OA
向量CA=2*向量OB/3-2向量OA/3
向量AC=(2/3)*向量AB
所以A,B,C三点共线.
（2）
由上知道向量CB=(1/3)*向量AB
|AC|/|CB|=(2/3)/(1/3)=2

 
 
方法二、平面几何法

（1）
如果OA、OB共线,且向量OC=向量OA/3+2*向量OB/3,很明显A,B,C三点共线.

 
如果OA、OB不共线,则OAB构成三角形


 

如图：△OAB中E、F、G分别是OA、BA、BO的三等份点
则EF∥OB,FG∥OA

 
向量OF=向量OE+向量OG=向量OA/3+2*向量OB/3

所以F点就是C点
所以A,B,C三点共线.
证毕.

 
（2）

通过图形,可知
|AC|/|CB|=2
解毕.