已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD2+CE2+DE2=269，则OD+OE的最大值是．

Question

已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD²+CE²+DE²=(26)/(9)，则OD+OE的最大值是______．

Answer 1

设OD=a，OE=b，由余弦定理，得CD²=CO²+DO²-2CO•DOcos60°=a²-a+1．
同理可得CE²=b²-b+1，DE²=a²+ab+b²      
从而得到CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2=(26)/(9)
∴2（a²+b²）-（a+b）+ab-(8)/(9)=0，
配方得2（a+b）²-（a+b）-3ab-(8)/(9)=0，即3ab=2（a+b）²-（a+b）-(8)/(9)…（*）
又∵ab≤[(1)/(2)（a+b）]²=(1)/(4)（a+b）²，
∴3ab≤(3)/(4)（a+b）²，代入（*）式，得2（a+b）²-（a+b）-(8)/(9)≤(3)/(4)（a+b）²，
设a+b=m，代入上式有2m²-m-(8)/(9)≤(3)/(4)m²，
即(5)/(4)m²-m-(8)/(9)≤0，得到-(8)/(15)≤m≤(4)/(3)，
∴m最大值为(4)/(3)，即OD+OE的最大值是(4)/(3)．