如图，以△ABC的边AB为直径作O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．（1）求证：AC是O的切线；（2）若sinB=23，BD=5，求BF的长．

Question

如图，以△ABC的边AB为直径作 O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．

（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若sinB=(2)/(3)，BD=5，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD，如图1所示．
∵E是弧BD的中点，
∴

BE

=

DE

，
∴∠1=∠2．
∴∠BAD=2∠1．
∵∠ACB=2∠1，
∴∠C=∠BAD．
∵AB为 O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠C=∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD=90°．
∴∠BAC=90°．
即AB⊥AC．
又∵AC过半径外端，
∴AC是 O的切线．
（2） 过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，sinB=(AD)/(AB)=(2)/(3)，
设AD=2m，则AB=3m，
由勾股定理得：BD=√(AB2-AD2)=√(5)m．
∵BD=5，
∴m=√(5)．
∴AD=2√(5)，AB=3√(5)．
∵∠1=∠2，∠ADB=90°，
∴FG=FD．
设BF=x，则FG=FD=5-x．
在Rt△BGF中，∠BGF=90°，sinB=(2)/(3)，
∴(5-x)/(x)=(2)/(3)．
解得：=3．
∴BF=3．