如图，在△ABC中，以A为圆心，AB为半径作圆交AC于点D，连接BD，已知∠A=2∠CBD．（1）求证：直线BC为⊙A的切线；（2）若cos∠CBD=32，⊙A半径为10，求阴影部分的面积．

Question

如图，在△ABC中，以A为圆心，AB为半径作圆交AC于点D，连接BD，已知∠A=2∠CBD．

（1）求证：直线BC为⊙A的切线；
（2）若cos∠CBD=(√(3))/(2)，⊙A半径为10，求阴影部分的面积．

Answer 1

∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠C+∠DBC，∠A=2∠CBD，
∴在△ABC中，由三角形的内角和定理得：
2（∠C+∠DBC）+2∠CBD=180°，
∴∠C+2∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴直线BC为⊙A的切线；
（2）∵cos∠CBD=(√(3))/(2)，
∴∠CBD=30°，
∴∠A=60°，
∵AB=10，
∴BC=10√(3)，
∴S_阴影=S_△ABC-S_扇形BAD=(1)/(2)×10×10√(3)-(60π×102)/(360)=50√(3)-(50)/(3)π．