（2013•襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为23π，则图中阴影部分的面积为（）A．π9B．3π9C．332−3π2D．

Question

（2013•襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为(2)/(3)π，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．(π)/(9)
B．(√(3)π)/(9)
C．(3√(3))/(2)−(3π)/(2)
D．(3√(3))/(2)−(2π)/(3)

Answer 1

连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵弧BE的长为(2)/(3)π，
∴(60π×R)/(180)=(2)/(3)π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2√(3)，
∴BC=(1)/(2)AB=√(3)，
∴AC=√(AB2−BC2)=3，
∴S_△ABC=(1)/(2)×BC×AC=(1)/(2)×√(3)×3=(3√(3))/(2)，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S_△ABC-S_扇形BOE=(3√(3))/(2)-(60π×22)/(360)=(3√(3))/(2)-(2π)/(3)．
故选：D．