如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB=1，则曲线CDEF的长是．

Question

如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB=1，则曲线CDEF的长是______．

Answer 1

∵△ABC是正三角形，
∴∠CAD=∠DBE=∠ECF=120°，
又∵AB=1，
∴AC=1，BD=2，CE=3，
∴CD弧的长度=(120×π×1)/(180)=(2π)/(3)；
DE弧的长度=(120×π×2)/(180)=(4π)/(3)；
EF弧的长度=(120×π×3)/(180)=2π；
所以曲线CDEF的长为(2π)/(3)+(4π)/(3)+2π=4π．
故答案为：4π．