棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AA1,C1D1中点,过DMN三点的平面与直线A1B1交于点P,则线段PB1长为?答案是3/4P.为什么P点在那个位置?

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棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AA1,C1D1中点,过DMN三点的平面与直线A1B1交于点P,则线段PB1长为?
答案是3/4P.为什么P点在那个位置?

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答案和解析

首先确定点P的位置.延长DM ,D1A1 相交E.连接EN,交A1B1于P.
由于:E,N 均既在平面DMN上,又在平面A1B1C1D1上.
故EN 为这两个平面的交线.而EN与A1B1的交点P即为直线A1B1与平面DMN的交点.
下面求PB1之长.
在三角形DD1E中,A1M// D1D,且A1M = (1/2)D1D,
即可知:D1A1 = A1E,即MA1为中位线.
由此,进而知:在三角形D1EN中,知A1P为中位线.从而A1P = (1/2)D1N = (1/4)a.
从而:PB1 = A1B1 - A1P = (3/4)a.

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