已知ABCD是菱形,PA垂直面ABCD,PA=AD=2,角BAD=60°.求点A到平面PBD的距离和二面角A-PB-D的余弦值

Question

已知ABCD是菱形,PA垂直面ABCD,PA=AD=2,角BAD=60°.求点A到平面PBD的距离和二面角A-PB-D的余弦值

Answer 1

如图菱形ABCD中(红色线为辅助线),连结AC,连结BD交AC于O点,则AC⊥BD,O为BD中点；
连结PO,过A作AQ⊥PO于Q
∵PA⊥面ABCD  ∴PA⊥BD
又∵BD⊥AC,∴BD⊥面PAC,即BD⊥面POQ
∴BD⊥AQ
又∵AQ⊥PO,PO∩BD＝O   ∴AQ⊥面PBD
于是AQ的长度即为点A到平面PBD的距离
由∠BAD＝60°,得：BD=AD=AB=2
AO=√3,PO=√(PA²+AO²)=√7
AQ=AO×AP÷PO=(2√21)/7
即A到平面PBD的距离为(2√21)/7
过点A作AE⊥PB于E,连结EQ
∵AE⊥PB,AQ⊥面PBD,
∴EQ⊥PB,∠AEQ为二面角A-PB-D的平面角
Rt△PAB中,PB=√2×AB=2√2,AE=AB×AP÷PB=√2
∴sin∠AEQ=AQ/AE=(√42)/7
经观察∠AEQ为锐角
∴cos∠AEQ=√{1-[(√42)/7]²}=(√7)/7
即二面角A-PB-D的余弦值为(√7)/7